FDTD 仿真驱动的金三八面体纳米颗粒参数化建模与光学特性研究

1 引言——金三八面体纳米颗粒

形状工程是贵金属纳米晶体设计中的核心策略。与传统的凸面、低折射率刻面（如球体、立方体、双锥体）纳米晶体相比，由高折射率刻面包围的凹面和树枝状纳米晶体，因其独特的光学和催化性能而受到广泛关注。

金三角化八面体纳米颗粒（Au-TOH NPs），作为一类具有高对称性的复杂多面体，正是在这一背景下脱颖而出。
Au-TOH NPs 由24个三角形高折射率刻面包围 ^[1]。这种结构具有以下显著优势：

• 强烈的等离激元效应： 大量的尖端和边缘充当电场增强的“热点”（Hotspots），使得 Au-TOH NPs 具有极强的表面增强拉曼散射（SERS）活性，是痕量检测应用的绝佳候选者。
• 高催化性能： 高折射率晶面富含低配位原子、台阶、边缘和扭结，这些位点赋予纳米结构优异的催化性能。

本文旨在为 Au-TOH NPs 的 FDTD 仿真提供一个精确的几何和数学模型蓝本，特别是探究其几何参数的可变调整对模型形态的影响，为后续的仿真优化奠定基础。

1.1 研究背景：高指数晶面纳米结构的重要性

金（Au）纳米颗粒因其优异的 局域表面等离激元共振 (LSPR) 特性，在 SERS 和催化等领域具有核心价值。高效的 SERS 增强依赖于尖锐结构产生的 热点(Hotspots) 。本研究聚焦于 高指数晶面（HIFs） 结构，它们具有高表面能，包含原子尺度的台阶和拐角，是增强电场集中的理想位点。

1.2 模型选择：三八面体 (Trisoctahedron) 的优势与目标设定

本研究选择 Trisoctahedron (TOH) 作为金纳米颗粒的模型对象，它精确暴露了 $\{hhl\}$ 类型的高指数晶面（如 $\{331\}$ 晶面）。通过建立参数化的 TOH 模型，系统地探索模型的尖锐度（由表面三角形的顶角 $\theta$ 控制）对 LSPR 模式和热点分布的影响。

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2 三角化八面体的晶体学描述

三角化八面体（Trisoctahedron，TOH）是一种高对称性的凸多面体，其晶体学特征为理解其物理性能提供了基础。

2.1 晶面类型与米勒指数的对应关系

TOH 是一个标准的 24 面体结构，由 24 个全等的等腰三角形面组成。这些面在晶体学中被定义为 高折射率刻面。

TOH晶面米勒指数族:$\{hhl\}$,其中 h>l>0

• 米勒指数定义： {hhl} 族通过晶体系统的对称操作，表示一组晶体学上等价的晶面族，这些晶面族通过对单个晶面应用晶体系统的所有对称操作而生成。

TOH 由 $\{hhl\}$ 晶面族限定，其中 $\{hhl\}$ 代表具有高表面能的台阶状晶面,下图是不同晶面指数的TOH ^[2]。

确定晶面的米勒指数对于 TOH 纳米结构，有两种方法可以确定晶面的米勒指数。一种方法是沿<110> 方向投影 TOH 结构时测量投影角度。米勒指数与投影角度之间的关系遵循下表中的方程 ^[3]。

2.2 高折射率刻面的物理与化学意义

高折射率刻面（{hhl} 晶面）具有高表面能。其结构特点包括：

• 原子排列： 晶面具有高密度的低配位原子、台阶、边缘和扭结 。
• 催化活性： 这些高能位点使其成为极具吸引力的催化活性位点。

2.3 晶体形态与几何体的精确映射

几何名称	英文名称	面数	晶面族	纳米合成对应
三轴八面体	Trisoctahedron (TOH)	24	$\{hhl\}$	最直接对应$\{331\}$ 晶面的纳米结构
三角化十二面体	Disdyakis Dodecahedron (DDO)	48	$\{hkl\}$	对应更复杂的高指数面，常与 TOH 混

2.4 形态控制与合成基础

Au-TOH NPs 可通过种子介导生长法合成 ，并能实现对尺寸（例如 60 nm 到 255 nm）和暴露刻面的精确控制。控制 $Au^{3+}$/抗坏血酸 (AA) 的摩尔比，以及表面活性剂如 CTAC 的浓度，是形成特定高指数 {hhl} 晶面的关键因素。

3 三角化八面体的几何构造与拓扑表示

TOH的构造建立在正八面体之上，在其 8 个三角形面上加盖一个等腰三角形金字塔（Kleetope 操作）。金字塔的高度（由参数 $k$ 控制）决定了模型的尖锐度。TOH 的几何和拓扑结构与其对偶体 截角立方体 （tC）紧密相关。

3.1 拓扑结构与对偶关系

TOH 属于卡塔兰立体，是 截角立方体 （tC）的 对偶多面体 。

元素	TOH(三角化八面体)	截角立方体 (tC)	拓扑对应关系
顶点 (V)	14	24	TOH顶点↔tC面
棱 (E)	36	36	TOH棱↔tC棱
面 (F)	24	14 (8×三角形+6×八边形)	TOH面↔tC顶点

TOH 的欧拉示性数 (χ) 满足：

$$χ=V−E+F=14−36+24=2$$

3.2 顶点分类与几何构造

TOH 的构造可以视为对正八面体的 8 个面各添加一个三角锥。其 14 个顶点可分为两组：

1. 6个8阶顶点： 对应于原始正八面体的顶点，每个顶点汇聚 8 条棱和 8 个面。
2. 8个3阶顶点： 对应于新增的锥顶点，每个顶点汇聚 3 条棱和 3 个面。

3.3 其他三角化八面体 ^[4]

4 三角化八面体的数学描述初探

精确的数学公式是 FDTD 仿真建模的基础，它确定了纳米颗粒的尺寸、形状和方向。我们以模型的 14 个顶点坐标（λ 和 k）和顶θ 为蓝本，构建所有几何参数的公式。

前提符号定义：

• $V_{\lambda}$: 原始八面体顶点，坐标 $(\lambda, 0, 0)$。
• $V_{k}$: 新增金字塔顶点，坐标 $(k, k, k)$。
• $s$: 原始八面体的棱长，是等腰三角形的底边长。
• $\lambda$: $V_{\lambda}$ 的轴向坐标。
• $k$: $V_{k}$ 的坐标参数。
• $s_2$（或 $a$）：等腰三角形的腰长（TOH 的长棱）。
• $s_1$: 等腰三角形的底边长（TOH 的短棱）。

4.1 顶点坐标的规范化与结构

Trisoctahedron 的 14 个顶点坐标可归纳为八面体型 $(\pm \lambda, 0, 0)$ 和立方体型 $(\pm k, \pm k, \pm k)$ 两种形式。

【Canonical 坐标集】 截角立方体棱长为 1 时，TOH 顶点坐标为：

• 6个8阶顶点 （八面体型）： $\left(\pm (1+\sqrt{2}), 0, 0\right)$ 及其排列
• 8个3阶顶点 （锥/立方体型）： $\left(\pm 1, \pm 1, \pm 1\right)$

4.2 棱长（Edge Lengths）与比例

模型的几何形状由几条关键棱长决定：原始八面体的棱长 $s$，短棱 $s_1$（等腰三角形的底边）和长棱 $s_2$（等腰三角形的腰）。

• 棱长 （$s$）：原始八面体的棱长:

  $$s^2 = \lambda^2 + \lambda^2$$

  $$\mathbf{s = \lambda\sqrt{2}}$$

• 短棱 （$s_1$）：短棱 $s_1$ 连接两个相邻的新增顶点 $V_{k1}=(k, k, k)$ 和 $V_{k2}=(k, k, -k)$，根据空间两点距离公式：

  $$s_1^2 = (k-k)^2 + (k-k)^2 + (k-(-k))^2$$

  $$s_1^2 = 0 + 0 + (2k)^2$$

  $$\mathbf{s_1 = 2k}$$

• 长棱 （$s_2$）：长棱 $s_2$ 连接八面体顶点 $V_{\lambda} = (\lambda, 0, 0)$ 与新增顶点 $V_{k} = (k, k, k)$。根据空间距离公式，其平方 $s_2^2$ 建立了 $\lambda$ 和 $k$ 之间的核心约束关系：

  $$s_2^2 = (\lambda-k)^2 + (0-k)^2 + (0-k)^2$$

  $$\mathbf{s_2^2 = 3k^2 - 2\lambda k + \lambda^2}$$

4.3 面内角和二面角

TOH 的 24 个面是全等的等腰三角形，面内角完全由棱长 $s_1$ 和 $s_2$ 决定，因此它们也是 $\lambda$ 和 $k$ 的函数。

• 顶角 $\theta_{obtuse}$ 位于 $V_{\lambda}$ 处，夹在两条长棱 $s_2$ 之间。由余弦定理：

$$s_1^2 = s_2^2 + s_2^2 - 2s_2^2 \cos(\theta_{obtuse})$$

$$\cos(\theta_{obtuse}) = \frac{2s_2^2 - s_1^2}{2s_2^2}$$

$$\mathbf{\cos(\theta_{obtuse}) = 1 - \frac{s_1^2}{2s_2^2}}$$

• 底角 $\phi_{acute}$ 位于 $V_k$ 处，夹在长棱 $s_2$ 和短棱 $s_1$ 之间。其角度 $\cos(\phi_{acute})$ 同样由余弦定理确定：

$$s_2^2 = s_1^2 + s_2^2 - 2s_1 s_2 \cos(\phi_{acute})$$

$$0 = s_1^2 - 2s_1 s_2 \cos(\phi_{acute})$$

$$2s_1 s_2 \cos(\phi_{acute}) = s_1^2$$

$$\mathbf{\cos(\phi_{acute}) = \frac{s_1}{2s_2}}$$

• 二面角 $\delta$ 的计算必须依赖于两个相邻面 $F_1$ 和 $F_2$ 的法向量 $\vec{N}_1$ 和 $\vec{N}_2$。

  I. 确定相邻面的法向量

  我们考虑 TOH 上共享一条长棱 $V_{\lambda}V_{k}$ 的两个相邻面 $F_1$ 和 $F_2$。

  1. 确定面 $F_1$ 的顶点：

  $$_{\lambda} = (\lambda, 0, 0)$$

  $$_{k1} = (k, k, k)$$

  $$_{k2} = (k, -k, k)$$

  2. 确定面 $F_2$ 的顶点：

  $$_{\lambda} = (\lambda, 0, 0)$$

  $$_{k1} = (k, k, k)$$

  $$_{k3} = (k, k, -k)$$

  3. 计算 $F_1$ 上的两个向量 $\vec{u}_1$ 和 $\vec{v}_1$：

  $$vec{u}_1 = \vec{V_{\lambda}V_{k1}} = (k-\lambda, k, k)$$

  $$vec{v}_1 = \vec{V_{\lambda}V_{k2}} = (k-\lambda, -k, k)$$

  4. 计算 $F_1$ 的法向量 $\vec{N}_1$：

  $$vec{N}_1 = \vec{u}_1 \times \vec{v}_1 = \left( (k)(k) - (k)(-k), \quad (k)(k-\lambda) - (k)(k-\lambda), \quad (k-\lambda)(-k) - (k)(k-\lambda) \right)$$

  $$vec{N}_1 = \left( k^2 - (-k^2), \quad 0, \quad -k(k-\lambda) - k(k-\lambda) \right)$$

  $$mathbf{\vec{N}_1 = (2k^2, \quad 0, \quad -2k(k-\lambda))}$$

  5. 计算 $F_2$ 的法向量 $\vec{N}_2$：

  $$vec{u}_2 = \vec{V_{\lambda}V_{k1}} = (k-\lambda, k, k)$$

  $$vec{v}_2 = \vec{V_{\lambda}V_{k3}} = (k-\lambda, k, -k)$$

  $$vec{N}_2 = \vec{u}_2 \times \vec{v}_2 = \left( (k)(-k) - (k)(k), \quad (k)(k-\lambda) - (-k)(k-\lambda), \quad (k-\lambda)(k) - (k)(k-\lambda) \right)$$

  $$vec{N}_2 = \left( -k^2 - k^2, \quad 2k(k-\lambda), \quad 0 \right)$$

  $$mathbf{\vec{N}_2 = (-2k^2, \quad 2k(k-\lambda), \quad 0)}$$

  II. 二面角 $\delta$ 的通用公式

  二面角 $\delta$ 是两个法向量夹角 $\alpha$ 的补角，$\cos(\delta) = -\cos(\alpha)$。

  $$mathbf{\cos(\delta)} = - \frac{\vec{N}_1 \cdot \vec{N}_2}{||\vec{N}_1|| \cdot ||\vec{N}_2||}$$

  1. 计算法向量点积 $\vec{N}_1 \cdot \vec{N}_2$：

  $$vec{N}_1 \cdot \vec{N}_2 = (2k^2)(-2k^2) + (0)(2k(k-\lambda)) + (-2k(k-\lambda))(0)$$

  $$mathbf{\vec{N}_1 \cdot \vec{N}_2 = -4k^4}$$

  2. 计算法向量模长 $||\vec{N}_1||$ 和 $||\vec{N}_2||$：

  $$|\vec{N}_1||^2 = (2k^2)^2 + 0 + (-2k(k-\lambda))^2$$

  $$|\vec{N}_1||^2 = 4k^4 + 4k^2(k-\lambda)^2$$

  $$|\vec{N}_2||^2 = (-2k^2)^2 + (2k(k-\lambda))^2 + 0$$

  $$|\vec{N}_2||^2 = 4k^4 + 4k^2(k-\lambda)^2$$

  由于对称性， $||\vec{N}_1|| = ||\vec{N}_2|| = \sqrt{4k^4 + 4k^2(k-\lambda)^2}$$

  1. 代入 $\cos(\delta)$ 公式：

  $$cos(\delta) = - \frac{-4k^4}{4k^4 + 4k^2(k-\lambda)^2}$$

  $$mathbf{\cos(\delta) = \frac{k^2}{k^2 + (k-\lambda)^2}}$$

4.4 面积与体积

4.4.1 单面面积 $A_f$

三角形面积 $A_f = \frac{1}{2} \cdot s_1 \cdot h$，其中 $h$ 是高。

$$h^2 = s_2^2 - \left(\frac{s_1}{2}\right)^2$$

$$A_f = \frac{1}{2} s_1 \sqrt{s_2^2 - \frac{s_1^2}{4}}$$

$$A_f = \frac{1}{4} s_1 \sqrt{4s_2^2 - s_1^2}$$

将 $s_1=2k$ 和 $s_2^2=3k^2-2\lambda k+\lambda^2$ 代入：

$$\mathbf{A_f = k \sqrt{8k^2 - 8\lambda k + 4\lambda^2}}$$

4.4.2 总表面积 $A$

总表面积 $A$ 是 24 个全等等腰三角形的面积总和，最终的总表面积公式为：

$$\mathbf{A = 24k \sqrt{8k^2 - 8\lambda k + 4\lambda^2}}$$

4.4.3 体积 $V$

体积 $V$ 可以视为由原始八面体体积 $V_{oct}$ 加上 8 个金字塔帽体积 $V_{cap}$ 构成。

$$V = V_{oct} + 8 \cdot V_{cap}$$

$$V = \frac{4}{3}\lambda^3 + 8 \cdot V_{cap}$$

进一步推导可以采取两种办法：

4.4.3.1 金字塔体积法

由于 $V_{cap}$ 的高度 $h_{cap}$ 复杂，总体积 $V$ 是 24 个全等金字塔（四面体）的体积总和，更简洁的几何约束关系是：

$$V = 24 \cdot V_{pyramid}$$

其中 $V_{pyramid}$ 是一个以原点为顶点，以 $A_f$ 为底的棱锥体积 $\frac{1}{3} A_f \cdot R_{inscribed}$，其中 $R_{inscribed}$ 是内切圆半径（原点到面的垂直距离）。

$$V = 24 \times V_{\text{pyramid}} = 24 \times \frac{1}{3} A_f \cdot R_{\text{inscribed}}$$

$$\mathbf{V = 8 \cdot A_f \cdot R_{\text{inscribed}}}$$

$R_{\text{inscribed}}$ 是原点 $(0, 0, 0)$ 到面平面 $Ax + By + Cz - D_{\text{plane}} = 0$ 的垂直距离。

使用我们4.5节推导出的第一象限简化面平面方程：

$$\mathbf{kx + (\lambda - k)z = k\lambda}$$

对应于标准形式的系数：

$$A = k, \quad B = 0, \quad C = \lambda - k, \quad D_{\text{plane}} = k\lambda$$

将原点 $(0, 0, 0)$ 代入距离公式：

$$R_{\text{inscribed}} = \frac{|A(0) + B(0) + C(0) - k\lambda|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

$$R_{\text{inscribed}} = \frac{|-k\lambda|}{\sqrt{k^2 + 0^2 + (\lambda - k)^2}}$$

$$\mathbf{R_{\text{inscribed}} = \frac{k\lambda}{\sqrt{2k^2 - 2\lambda k + \lambda^2}}}$$

单面面积 $A_f$ 的公式：

$$\mathbf{A_f = k \sqrt{2k^2 - 2\lambda k + \lambda^2}}$$

将 $A_f$ 和 $R_{\text{inscribed}}$ 代入 $V = 8 \cdot A_f \cdot R_{\text{inscribed}}$：

$$V = 8 \cdot \left( k \sqrt{2k^2 - 2\lambda k + \lambda^2} \right) \cdot \left( \frac{k\lambda}{\sqrt{2k^2 - 2\lambda k + \lambda^2}} \right)$$

由于分子和分母上的平方根项完全相同，可以抵消：

$$V = 8 \cdot k \cdot k\lambda$$

$$\mathbf{V = 8 \cdot \lambda k^2}$$

4.4.3.2 标量三重积法

或者采取另一种推导方式：三角化八面体（TOH）是一种中心对称多面体，它有 24 个面。因此，可以将整个 TOH 的体积 $V$ 分解为 24 个全等四面体（金字塔）的体积总和，每个四面体的顶点都是原点 $O=(0, 0, 0)$。

$$V = 24 \times V_{\text{tetrahedron}}$$

第 1 步：确定四面体的顶点

我们选取一个位于第一象限的代表性三角形面 $F$。这个面与原点 $O$ 共同构成一个四面体 $T$。该四面体 $T$ 的四个顶点为：

• 顶点 1 (原点)： $O = (0, 0, 0)$
• 顶点 2 (八面体顶点)： $V_{\lambda} = (\lambda, 0, 0)$
• 顶点 3 (新增顶点 1)： $V_{k1} = (k, k, k)$
• 顶点 4 (新增顶点 2)： $V_{k2} = (k, -k, k)$

我们取三个顶点向量作为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$：

$$\mathbf{v}_1 = V_{\lambda} = (\lambda, 0, 0)$$

$$\mathbf{v}_2 = V_{k1} = (k, k, k)$$

$$\mathbf{v}_3 = V_{k2} = (k, -k, k)$$

第 2 步：计算向量叉积 $\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3$

$$\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ k & k & k \\ k & -k & k \end{vmatrix}$$

$$\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3 = \mathbf{i}(k^2 - (-k^2)) - \mathbf{j}(k^2 - k^2) + \mathbf{k}(-k^2 - k^2)$$

$$\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3 = (2k^2, \quad 0, \quad -2k^2)$$

第 3 步：计算标量三重积 $\mathbf{v}_1 \cdot (\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3)$

四面体体积公式中的标量三重积 $\mathbf{v}_1 \cdot (\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3)$：

$$\mathbf{v}_1 \cdot (\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3) = (\lambda)(2k^2) + (0)(0) + (0)(-2k^2)$$

$$\mathbf{v}_1 \cdot (\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3) = 2\lambda k^2$$

第 4 步：计算单个四面体体积 $V_{\text{tetrahedron}}$

四面体体积公式为 $V_{\text{tetrahedron}} = \frac{1}{6} | \text{标量三重积} |$：

$$V_{\text{tetrahedron}} = \frac{1}{6} | 2\lambda k^2 |$$

由于 $\lambda$ 和 $k$ 都是正数：

$$V_{\text{tetrahedron}} = \frac{1}{3} \lambda k^2$$

最终结果：TOH 总体积 $V$

总体积 $V$ 是 24 个全等四面体体积的总和：

$$V = 24 \times V_{\text{tetrahedron}} = 24 \times \frac{1}{3} \lambda k^2$$

$$\mathbf{V = 8 \cdot \lambda k^2}$$

4.5 面平面方程的精确代数表示

对于参数化三角化八面体（TOH），面平面方程 $\mathbf{Ax + By + Cz = D}$ 的系数 $A, B, C, D$ 必须是 $\lambda$ 和 $k$ 的函数。

I. 确定单个面

我们选取一个位于第一象限的三角形面 $F$ 进行推导，该面由以下三个顶点构成：

1. 八面体顶点：

   $$V_{\lambda} = (\lambda, 0, 0)$$

2. 新增顶点 1：

   $$V_{k1} = (k, k, k)$$

3. 新增顶点 2：

   $$V_{k2} = (k, -k, k)$$

II. 法向量 $(A, B, C)$ 的计算

法向量 $\vec{N} = (A, B, C)$ 垂直于平面 $F$，由该平面上的两个向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的叉积给出：

$$\vec{u} = \vec{V_{\lambda}V_{k1}} = (k-\lambda, k, k)$$

$$\vec{v} = \vec{V_{\lambda}V_{k2}} = (k-\lambda, -k, k)$$

法向量 $\vec{N}$ 的分量 $A, B, C$ 是 $\vec{u} \times \vec{v}$ 的结果。我们在推导二面角时已经计算过：

$$\vec{N} = \vec{u} \times \vec{v} = \left( 2k^2, \quad 0, \quad -2k(k-\lambda) \right)$$

为了简化，我们可以除以公因式 $2k$（因为 $k$ 必须大于 0），得到一个简化的法向量 $\vec{N}'$:

$$\vec{N}' = \left( k, \quad 0, \quad -(k-\lambda) \right)$$

因此，平面方程的系数为：

$$\mathbf{A = k}$$

$$\mathbf{B = 0}$$

$$\mathbf{C = \lambda - k}$$

III. 平面常数 $D$ 的计算

平面常数 $D$ 可以通过将平面上的任意一个顶点坐标代入方程 $Ax + By + Cz = D$ 来求得。我们代入八面体顶点 $V_{\lambda} = (\lambda, 0, 0)$：

$$D = A(\lambda) + B(0) + C(0)$$

$$D = (k)(\lambda) + 0 + 0$$

$$\mathbf{D = k\lambda}$$

IV. 最终面平面方程（第一象限 $xz$ 平面上的面）

将 $A, B, C, D$ 代入 $Ax + By + Cz = D$，我们得到第一象限的简化平面方程：

$$\mathbf{kx + (\lambda - k)z = k\lambda}$$

---

5 三角化八面体模型的可变调整

5.1 变量控制与数学映射

该模型通过调整表面三角形的顶角 $\theta$（默认设置为 $90^\circ$），固定 $\mathbf{s=\sqrt{2}}$（即 $\lambda=1$），实现了对关键几何参数 $s_2$（长棱）和 $k$（顶点位置）的连续控制。

5.1.1 $s_2$（长棱）的计算：

为了实现模型的可变性，长棱 $s_2$ 必须通过等腰三角形的顶角 $\theta$ 来控制。根据余弦定理，腰长 $s_2$、底边 $s$ 和顶角 $\theta$ 之间满足关系 $s^2 = 2s_2^2 (1 - \cos\theta)$。由于原始八面体的棱长 $s$ 与 $\lambda$ 的关系为 $\mathbf{s = \lambda\sqrt{2}}$，因此 $s_2$ 对 $\theta$ 的依赖关系可以表示为：

$$\mathbf{s_{2} = \frac{\lambda\sqrt{2}}{\sqrt{2(1 - \cos\theta)}}}$$

5.1.2 顶点参数 $(\boldsymbol{k})$ 的计算：

最后，通过对长棱 $s_2^2$ 的约束公式进行代数反解，可以得到参数 $k$ 对 $\lambda$ 和 $s_2$ 的依赖关系。此公式是实现模型可变调整的核心计算公式：

$$\mathbf{k = \frac{\lambda + \sqrt{3s_2^2 - 2\lambda^2}}{3}} = \frac{1 + \sqrt{3s_2^2 - 2}}{3}$$

5.2 模型形态与尖锐度的量化控制

这种参数化设计使得 Au-TOH NPs 成为研究纳米光学中几何尖锐度对等离激元效应影响的理想系统。

• $\theta$ 增大 ($\theta > 90^\circ$): $k$ 减小，模型更平坦（降低凸起），探索 LSPR 模式的稳定性。
• $\theta$ 减小 ($\theta < 90^\circ$): $k$ 增大，模型更尖锐（增加凸起），增强尖端效应，最大化热点区域的电场强度。

---

6 模型构建与 FDTD 仿真实施

6.1 高精度几何模型构建（Blender Python 脚本）

建模过程在 Blender 的 Python API 环境中执行，旨在确保模型满足 FDTD 仿真对几何精度的严苛要求。

import bpy
import numpy as np
import bmesh
import math
from mathutils import Vector

# --- 0. 清理场景与设置单位 --- 

def setup_scene_and_clear(): 
    # 清理场景中所有对象 
    if bpy.context.mode == 'EDIT': 
        bpy.ops.object.mode_set(mode='OBJECT') 
    bpy.ops.object.select_all(action='SELECT') 
    bpy.ops.object.delete(use_global=False) 
  
    # 设置 1 BU = 1 nm 约定，通过 MICROMETERS 实现 
    scene_units = bpy.context.scene.unit_settings 
    scene_units.length_unit = 'MICROMETERS' 
    # 1 BU = 0.001 μm = 1 nm
    scene_units.scale_length = 0.001 
  
    print("场景已清理。单位已设置为 1 BU = 1 nm 约定。") 

# --- 1. 几何参数定义 --- 

NAME = "Gold_Triakis_Octahedron_Scaled" 

# --- 2. 几何参数 (单位：纳米 nm) ---
R_TRI_OCT = 37.5  # 三棱八面体半径 (75 nm 直径的一半)
SCALE_FACTOR = 1.0 / 1000.0 # 统一缩小 1000 倍

# 目标直径：75 nm，应用 1/1000 缩放因子。
# 目标直径 (在 Blender Unit 中) = 75.0 nm * (1/1000) = 0.075 BU
TARGET_DIAMETER_BLENDER_UNITS = 2 * R_TRI_OCT * SCALE_FACTOR

# 原始模型的直径是 2.0 (从 -1 到 1) 
ORIGINAL_DIAMETER = 2.0 
THETA_DEGREES = 90.0 

# --- 3. 几何体计算与预缩放 --- 

def calculate_geometry(target_diameter, theta_degrees): 
  
    # 确保缩放因子正确计算 
    scale_factor = target_diameter / ORIGINAL_DIAMETER 

    # 几何计算 
    theta = math.radians(theta_degrees) 
    s = math.sqrt(2) 
    a = s / math.sqrt(2 * (1 - math.cos(theta))) 
  
    # 计算 k 值 
    discriminant = 3 * a ** 2 - 2 
    k = (1 + math.sqrt(discriminant)) / 3 
  
    # 生成未缩放的顶点列表 
    original_vertices_unscaled = np.array([ 
        [1, 0, 0], [-1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, -1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, -1] 
    ]) 
  
    # 修复 signs 数组的生成逻辑
    signs = np.array([(x, y, z) for x in (-1, 1) for y in (-1, 1) for z in (-1, 1)])
  
    new_vertices_unscaled = k * signs 
  
    # 合并所有顶点并应用全局缩放 (坐标范围在 [ -0.0375, 0.0375 ] 内) 
    vertices_np = np.vstack([original_vertices_unscaled, new_vertices_unscaled]) * scale_factor 
    vertices = [tuple(v) for v in vertices_np.tolist()] 
  
    # 生成24个三角形面坐标 (使用缩放后的坐标) 
    face_coord_list = [] 
    for vertex_unscaled in new_vertices_unscaled: 
        sign = np.sign(vertex_unscaled) 

        v_k = tuple(vertex_unscaled * scale_factor) 
        v_x = tuple(np.array([sign[0], 0, 0]) * scale_factor) 
        v_y = tuple(np.array([0, sign[1], 0]) * scale_factor) 
        v_z = tuple(np.array([0, 0, sign[2]]) * scale_factor) 

        face_coord_list.extend([(v_k, v_x, v_y), (v_k, v_x, v_z), (v_k, v_y, v_z)]) 
  
    return vertices, face_coord_list 

# --- 4. BMesh 创建、法线修复与后处理 --- 

def create_triakis_octahedron_mesh(name, vertices, face_coord_list): 
    """使用 BMesh 创建网格，并强制统一法线，以确保 FDTD 兼容性。""" 
  
    mesh_data = bpy.data.meshes.new(name + "_Mesh") 
    bm = bmesh.new() 

    # 1. 创建顶点映射 
    vert_map = {} 
    ROUND_PRECISION = 7 # 足够高的精度
    for coord in vertices: 
        rounded_coord = tuple(round(c, ROUND_PRECISION) for c in coord) 
        v = bm.verts.new(rounded_coord) 
        vert_map[rounded_coord] = v 
    bm.verts.ensure_lookup_table() 

    # 2. 添加面 
    for f_coords in face_coord_list: 
        try: 
            rounded_coords = [tuple(round(c, ROUND_PRECISION) for c in coord) for coord in f_coords] 
            verts_to_use = [vert_map[coord] for coord in rounded_coords] 
            bm.faces.new(verts_to_use) 
        except: 
            pass 
  
    # 3. 强制法线修复 (FDTD 兼容性关键) 
    bmesh.ops.recalc_face_normals(bm, faces=bm.faces) 

    # 4. 写入网格数据 
    bm.to_mesh(mesh_data) 
    bm.free() 

    # 5. 创建对象并链接到场景 
    obj = bpy.data.objects.new(name, mesh_data) 
    bpy.context.collection.objects.link(obj) 

    # 6. 后处理和视图设置 
    bpy.context.view_layer.objects.active = obj 
    bpy.ops.object.select_all(action='DESELECT') 
    obj.select_set(True) 
    bpy.ops.object.shade_smooth() 
  
    # 7. 调整 3D 视图的剪裁距离和对焦 
    for area in bpy.context.screen.areas: 
        if area.type == 'VIEW_3D':
            for space in area.spaces: 
                if space.type == 'VIEW_3D': 
                    # 剪裁起始设为 1e-5 μm = 0.01 nm。适用于缩小后的 0.075 BU 模型。
                    space.clip_start = 1e-5 
  
                    # 尝试对焦选中的对象 
                    try: 
                        override = {'area': area, 'region': [r for r in area.regions if r.type == 'WINDOW'][0]} 
                        bpy.ops.view3d.view_selected(override, align_active=False) 
                    except: 
                        pass 
            break 
  
    # 输出验证 
    bpy.context.view_layer.update() 
  
    # 尺寸将显示为 0.075 μm (根据 1 BU = 1 nm 的约定) 
    print(f"\n模型 {name} 已创建并修复法线。") 
    print(f"Blender 尺寸显示: {obj.dimensions.x:.3f} μm (即 {TARGET_DIAMETER_BLENDER_UNITS:.3f} 个 Blender Unit)") 
  
    return obj 


# --- 5. 主执行代码 --- 

if __name__ == "__main__": 
    setup_scene_and_clear() 
  
    # 1. 计算几何数据 
    V, F_coords = calculate_geometry(TARGET_DIAMETER_BLENDER_UNITS, THETA_DEGREES) 
  
    if V and F_coords: 
        # 2. 创建并修复网格 
        final_object = create_triakis_octahedron_mesh(NAME, V, F_coords) 
  

        print("✅ 金24面体网格创建完毕。") 
        print("模型直径为 75 nm，并已按 FDTD 要求缩小 1000 倍。") 
        print("最终 FDTD 导入尺寸：0.075 nm。")
        print("【FDTD 导出约定】请在 FDTD 软件中将 ‘1 个单位’ 视为 ‘1 纳米’。") 

以下是建模效果：

A. 纳米尺度单位约定与缩放

1. Blender 单位设置： 设置 Blender 场景单位为 MICROMETERS，长度比例因子为 $\mathbf{0.001}$。

   $$\mathbf{1 \text{ BU} = 0.001 \text{ μm}} = 1 \text{ nm}$$

2. 几何缩放： 目标直径 $D = \mathbf{75 \text{ nm}}$。Python 脚本计算缩放因子，将原始直径为 $2.0 \text{ BU}$ 的模型缩放至 $\mathbf{0.075 \text{ BU}}$，精确对应 $75 \text{ nm}$ 的物理尺寸。

B. 网格创建、法线修复与精度保证

在将模型导出为 STL 文件之前，脚本执行了以下关键的拓扑修复步骤，以确保 FDTD 软件能正确识别模型边界：

1. 高精度舍入： 在创建和映射顶点时，采用高精度（例如 7 位小数）的四舍五入，消除浮点数误差，确保网格顶点闭合。
2. 法线修复（FDTD 兼容性关键）： 执行 bmesh.ops.recalc_face_normals 操作，强制统一所有面的法线方向（全部指向外部），这确保了网格的拓扑封闭性，是 FDTD 软件将其识别为一个实心（Solid）几何体。

6.2 FDTD 仿真参数与初步结果

将模型导入 FDTD Solutions 软件后的仿真设置，这里参考论文 ^[5]进行设置。

A. 仿真参数设置

参数类型	参数设置	物理意义/目标
模型	单个$\mathbf{75 \text{ nm}}$ 金 Trisoctahedron	研究单个纳米颗粒的 LSPR 响应
材料	金（Au-Johnson and Christy ）	采用权威文献中的实验介电常数数据
环境	背景折射率$n=1.33$	模拟水或生物介质环境
激发光源	$\lambda = 785 \text{ nm},$ $-z$方向传输的平面波，偏振沿 $x$	模拟 SERS 实验常用的近红外激发光
边界条件	$x, y$ 周期性边界（Periodic）；$z$ 完美匹配层 (PML)	模拟无限阵列 (周期性) 和吸收边界 (PML)
网格精度	$x, y$ 方向 $0.1 \text{ nm}$；$z$ 方向 $1 \text{ nm}$	高精度网格用于精确捕捉尖端附近的电场梯度

B. 初步仿真结果与分析

文章中电场强度计算结果（中心剖面 $xOy$ 视图）表明：

• 显著增强： 金 Trisoctahedron 尖端附近产生了显著的局部电场增强（热点效应）。
• 强度： 归一化电场强度最高可达 $\approx \mathbf{8}$。
• 物理机制： 增强归因于尖端效应。在几何尖锐的顶点处，电荷高度聚集，产生集中在尖端的强电场。

---

文件资料

• Au24.fsp

协力帮助

• Gemini
• deepseek

参考文献

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1. 易于合成具有可控尺寸和二面角的金面体纳米晶体 ↩︎

2. {331}面面体金纳米晶体：合成、卓越的电催化性能和高效的SERS活性 ↩︎

3. 快速简便地合成用于表面增强拉曼光谱和折射率传感的金三面体 ↩︎

4. 三角化八面体-wiki ↩︎

5. 基于金三八面体的致密组装实现光纤LSPR传感器 ↩︎